Исчерпывание при помощи унитарных преобразований

25. Для выполнения исчерпывания можно использовать и унитарные преобразования. В случае одного собственного вектора в качестве матрицы в уравнении (20.1) можно взять либо одну матрицу отражения где, вообще говоря, не имеет нулевых компонент, либо произведение вращений в плоскостях (1,2), (1,3), Если вещественный, то эти матрицы ортогональны.

Для исчерпывания нужно приблизительно умножений, если мы применяем плоские вращения, и если мы используем матрицы

отражения. Это дает обычное отношение два к одному. Однако заметим, что с матрицами отражения мы имеем в четыре раза больше умножений, чем при неунитарных преобразованиях; в предыдущих случаях это отношение было два к одному. Это случилось потому, что при исчерпывании при помощи неунитарных преобразований нам на самом деле не надо выполнять умножение справа на Это умножение всегда оставляет последние столбцов неизменными, и мы можем положить первый столбец равным без вычислений. Хотя в случае унитарных преобразований мы также можем взять окончательный первый столбец равным это не спасет нас от вычислений, так как все остальные столбцы меняются при умножении справа.

Если исходная матрица была эрмитова, то после исчерпывания матрица будет также эрмитовой и, следовательно, будет иметь вид

где эрмитова. Исчерпывание может быть проведено почти так же, как первый шаг метода Хаусхолдера (правда, уже не имеет нулевого первого элемента), включая способ, описанный в гл. 5, § 30, для упрощения в симметричном случае. Интересно заметить, что этот метод исчерпывания был впервые описан Феллером и Форсайтом (1951), хотя и в сильно отличных терминах. К сожалению, он не привлек к себе внимания (может быть, потому что он был лишь одним из большого числа методов исчерпывания, описанных в статье), хотя он мог бы привести к значительно более раннему широкому использованию матриц отражения в численном анализе.

Аналогично мы можем работать с инвариантным подпространством, натянутым на столбцов, преобразуя их так же, как мы преобразовывали первые столбцов квадратной матрицы при ортогональном приведении к треугольной (гл. 4, § 46). Это требует матриц отражения с векторами имеющими соответственно нулевых элементов. Соответствующая матрица снова верхняя треугольная. При комплексном собственном векторе вещественной матрицы мы используем вещественное инвариантное подпространство так что достаточно вещественных (ортогональных) матриц, и комплексная арифметика не привлекается.