Каноническая форма Смита

18. Фундаментальная теорема об эквивалентных -матрицах состоит в следующем.

Каждая -матрица ранга может быть приведена элементарными операциями (рациональными в поле элементов к эквивалентной диагональной форме вида

где каждый это нормализованный полином такой, что делит (Старший коэффициент нормализованного полинома равен единице.) Все остальные элементы равны нулю.

Доказательство таково. Будем получать диагональную форму с помощью последовательных элементарных операций, обозначая элемент текущих преобразованных матриц на каждом шаге через

Пусть один из элементов наименьшей степени. Перестановкой первой и строк и первого и столбцов этот элемент может быть помещен в позицию (1,1). Пусть

где остатки, так что их степень меньше, чем степень Если не все равны нулю, то предположим, что не нуль. Вычтем из строки первую, умноженную на и переставим первую и строку. В позиции (1,1) тогда будет остаток отличный от нуля и степени меньшей по сравнению с предыдущим элементом на этом месте.

Продолжая таким образом, получим, что элемент остается отличным от нуля, и его степень постоянно уменьшается. В конечном счете должен делить все либо когда уже не зависит от X, либо на более ранней стадии. Когда это произошло, матрицу можно преобразовать к виду

вычитая из всех строк, начиная со второй, первую, умноженную на соответствующие множители, и затем вычитая из всех столбцов, начиная со второго, первый столбец, умноженный на соответствующие множители.

На этой стадии может делить все элементы Если это не так, положим для некоторого элемента

Теперь, добавляя строку к первой, мы можем применить предыдущую процедуру и получить форму (18.3) снова с ненулевым более низкой степени. Продолжая подобным образом, мы достигнем вида (18.3), где делит все элементы Это случится, либо когда станет уже независимым от X, либо на более ранней стадии.

Если не тождественный нуль, мы можем применить к этой матрице процесс, подобный примененному к При этом мы можем полагать, что операции производятся лишь над последними строками и последними столбцами матрицы (18.3); первая строка и первый столбец уже не меняются. На всех стадиях этого процесса все элементы остаются кратными Таким образом, мы получили форму

в которой делит делит все элементы Продолжая подобным образом, получаем форму

где каждый элемент делит все следующие, причем процесс продолжается до тех пор, пока либо равно или либо нулевая матрица. Однако во всяком случае так как по теореме Бине — Коши ранг -матрицы не меняется при умножении на неособенную матрицу. Так как отличные от нуля полиномы, то, умножая строки на соответствующие постоянные, можно сделать коэффициенты при старших степенях в каждом полиноме равными единице. Тогда станут нормализованными полиномами и каждый делит Это завершает доказательство, причем из доказательства ясно, что использовались лишь рациональные операции. Так как получена элементарными операциями, то

причем и неособенные матрицы с определителем, не зависящим от Форма известна как каноническая форма Смита для эквивалентных -матриц.