Близкие собственные значения и малые

45. Мы видели (§ 37), что трехдиагональная матрица обязательно имеет простые собственные значения, если ненулевые. Можно было бы подумать, что матрица, имеющая несколько патологически близких собственных значений, должна иметь по крайней мере один «очень малый элемент» но это неверно. Можно показать, что если С есть нормированная трехдиагональная матрица и минимум разности между двумя любыми собственными значениями С равен то при фиксированном когда но можно построить матрицы небольшого порядка, имеющие патологически близкие собственные значения и у которых совсем немалые.

В связи с этим мы введем два класса трехдиагональных матриц которые также будут представлять интерес и в последующих параграфах. Мы определим соотношениями

такими соотношениями:

так что имеем, например,

В табл. 7 мы даем собственные значения матриц с семью десятичными знаками. Матрица имеет ряд пар собственных значений, которые исключительно близки. В действительности и совпадают с 15 знаками, и совпадают с 11 знаками. По сравнению с ними последующие пары постепенно разделяются. Для больших это явление становится даже более заметным, и можно показать, что является приблизительно величиной порядка Матрица не нормирована,

Таблица 7 (см. скан)

так что даже после нормирования мы имеем и ни одно не может считаться патологически малым. Заметим, что ряд преобладающих собственных значений матрицы очень близок к некоторым собственным значениям матрицы с ростом это становится более заметным. Собственные значения попарно равны по модулю и противоположны по знаку, и легко показать, что это верно в общем случае для матрицы

Собственные векторы матрицы могут быть определены через две матрицы имеющие хорошо разделенные собственные значения. Для простоты мы проиллюстрируем это случаем причем отсюда будет виден и общий случай. Пусть

Теперь, если есть собственный вектор матрицы соответствующий собственному значению X, то сразу же видно, что X есть собственное значение и соответствующий собственный вектор будет симметричным относительно среднего элемента

С другой стороны, если есть собственный вектор матрицы соответствующий собственному значению то есть собственное значение и соответствующий собственный вектор будет кососимметричным относительно среднего элемента

Поэтому собственные значения матрицы те же, что у матриц каждая из которых имеет хорошо разделенные собственные значения. Для наибольшие собственные значения матриц соответственно таковы:

Собственные векторы матриц и приведены в табл. 8. Соответствующие собственные векторы матрицы строятся так, как мы только что описали.

Таблица 8 (см. скан)

Заметим, что почти равен нулю в своей нижней половине, в верхней. Компоненты векторов имеют ярко выраженные минимумы.

Имеет смысл заметить, что всякий раз, когда собственный вектор трехдиагональной матрицы С имеет ярко выраженный минимум во внутренней точке, то С должна иметь несколько очень близких собственных значений. Предположим, например, что нормированная матрица 17-го порядка имеет собственное значение X, соответствующее собственному вектору и, логарифмы компонент которого приблизительно такие:

Рассмотрим теперь векторы где

Все векторы невязки имеют компонентыкоторые или равны нулю, или порядка это вытекает сразу же из трехдиагональной природы матрицы С. Следовательно, все три ортогональных вектора дают очень малые невязки, соответствующие значению X, и поэтому само X является почти трехкратным собственным значением (гл. 3, § 57).

46. Когда исходная трехдиагональная матрица имеет несколько нулевых то мы условились рассматривать её как прямую сумму некоторого количества меньших трехдиагональных матриц. Однако предположим, что мы заменили все нулевые на 8 (малую величину) и работаем с полученной матрицей вместо С. Матрица симметричная и все ее собственные значения X удовлетворяют неравенству

Поэтому все собственные значения матрицы различные и лежат в интервалах длины с центрами в собственных значениях матрицы С. Если компоненты С ограничены по модулю единицей и мы возьмем то ошибки, полученные от добавления элементов совсем незначительны.

Нам больше не нужно расщеплять на меньшие подматрицы, так как она имеет ненулевые вне диагональные элементы. Эта модификация способствует упрощению программы, но несколько неэкономична в смысле времени счета. Однако ее преимущество состоит в том, что С рассматривается как целая, и, следовательно, мы можем находить частное собственное значение, например не работая отдельно с меньшими матрицами.

Если нас очень интересует время счета, то мы можем сделать шаг в противоположном направлении и заменить все малые в исходной матрице С нулями, получая тем самым матрицу которая расщепляется на ряд подматриц. Если мы ликвидируем все удовлетворяющие неравенству

то таким же доказательством, какое было проведено выше, можно установить, что максимальная ошибка, сделанная при этом в собственных значениях, равна Мы сейчас покажем, что для любого собственного значения, достаточно хорошо отделенного от других, введенная ошибка в действительности много меньше.

Для того чтобы упростить запись, мы предположим, что только и удовлетворяют соотношению (46.2). Поэтому мы работаем с матрицей которая является прямой суммой трех трехдиагональных матриц. Обозначим

Предположим, что так что есть собственное значение а потому и Если мы напишем

где разделен согласно разделению С, то, определяя соотношением

имеем

Следовательно, ортогонален есть отношение Релея для матрицы С и вектора (гл. 3, § 54). Предполагая нормированным, получаем

Отсюда, согласно гл. 3, § 55, вытекает, что если все, кроме одного, собственные значения С отстоят от дальше, чем на а, то существует такое собственное значение К матрицы С, что

Если, например, мы знаем, что минимальное расстояние между собственными значениями равно и работаем с 10 десятичными знаками, то можем заменить нулями все удовлетворяющие неравенству