Анализ ошибок процесса Гивенса в арифметике с плавающей запятой

26. Чтобы закончить решение исходной проблемы собственных значений, нужно решить такую же проблему для трехдиагональной матрицы. Так как наш следующий метод также приводит к симметричной трехдиагональной матрице, оставим на некоторое время этот вопрос и дадим анализ ошибок приведения к трехдиагональному виду.

Очевидно, что преобразование Гйвенса полностью охватывается общим анализом, данным в гл. 3, §§ 20—36, даже при таком вычислении углов, как описано здесь. Если мы обозначим вычисленную трехдиагональную матрицу через С, а точное произведение точных вращений, соответствующих вычисленным через то из главы 3 неравенства (27.2) имеем

для стандартных вычислений с плавающей запятой.

Заметим, что вращения, входящие в процесс Гйвенса, не составляют полную совокупность вращений, описанных в гл. 3, § 22, так как не требуется ни одно вращение, затрагивающее первую плоскость, Ясно, что оценка, приведенная там, тем более пригодна для меньшей совокупности вращений.

Оценка (26.1) не использует тот факт, что преобразованные матрицы имеют возрастающее число нулевых элементов, и в действительности учесть это совсем не просто. Однако самое большее, что можно ожидать от такого анализа, так это некоторое уменьшение множителя 12 в (26.1). Во всяком случае мы имеем

где суть собственные значения вычисленной трехдиагональной матрицы. Эту оценку можно сравнить с оценкой (18.3) для метода Якоби. Покажем в §§ 40 и 41, что ошибки, сделанные при вычислении собственных значений трехдиагональной матрицы, незначительны по сравнению с оценкой (26.2).