Устойчивость исчерпывания

53. Рассмотрим влияние ошибок округления в самом процессе исчерпывания и в значении Сначала обсудим исчерпывание матрицы Хессенберга с использованием плоских вращений.

Если рассматриваются умножения справа, наш общий анализ гл. 3, §§ 20—26 дает, что если точные плоские вращения, соответствующие последовательным вычисленным матрицам, то окончательная вычисленная матрица будет очень близка к Этот анализ оправдывает введение нулей в позициях Возникновение нуля в позиции которое гарантируется в случае точных вычислений, не является, конечно, прямым следствием специального вращения, и наш аналиа не показывает, что этот элемент должен быть мал, даже если верно с рабочей точностью. Легко построить матрицы, проблема собственных

значений которых хорошо обусловлена, но вычисленный (1, -элемент после завершения умножения справа весьма велик, и следовательно, окончательная вычисленная матрица имеет вид

причем ни элемент в позиции ни элемент в позиции не малы.

Аналогично при использовании плоских вращений для исчерпывания симметричной трехдиагональной матрицы окончательная вычисленная матрица может иметь вид

причем три подчеркнутых элемента, которые должны бы быть равными нулю при точных вычислениях, могут сильно отличаться от нуля.

Большинство из этих замечаний приложимо к процессу исчерпывания, использующему элементарные устойчивые неунитарные преобразования. Покажем, что для таких процессов исчерпывания срыв аннулирования -элемента после завершения умножения справа тесно связан с явлением, которое обсуждалось в гл. 5 § 56.

Рассмотрим матрицу А порядка 21 вида

собственные значения который совпадают с собственными значениями Собственное значение верно с 9 десятичными значащими цифрами. Давайте выполним процесс исчерпывания для , используя элементарные устойчивые неунитарные преобразования.

Сначала сравниваем абсолютные значения элементов в позициях (21,20) и (21,21), и если модуль элемента в позиции (21,21) больше, переставляем столбцы 21 и 20. Затем вычитаем кратное 20-го столбца из 21-го так, чтобы получить нуль в позиции (21,21). Сразу видно, что эти действия в точности совпадают с действиями в первом шаге метода Гаусса с перестановками для Это совпадение двух процессов сохраняется

все время. Заметим, однако, что наличие перестановки на какой-либо стадии метода Гаусса соответствует отсутствию перестановки в процессе исчерпывания, и наоборот. После завершения умножения справа столбцы совпадают с ведущими строками полученными в методе Гаусса, а 21-й столбец приведенной равен последней ведущей строке, полученной в методе Гаусса, так что элемент в позиции (1,21), который должен бы быть равен нулю, на самом деле равен —20,6954139. Элементы столбца суть из табл. 10 гл. 5.