Дифференциальные уравнения высшего порядка

30. Рассмотрим систему однородных дифференциальных уравнений порядка вида

где матрицы порядка с постоянными элементами, -мерный вектор, образованный неизвестными функциями. (Мы обозначаем вместо у по причинам, которые скоро станут понятными.) Систему (30.1) можно свести к системе уравнений первого порядка введением новых переменных

Если неособенная, мы можем записать (30.1) в виде

где

Уравнения (30.2) и (30.3) можно рассматривать как одну систему уравнений с переменными, которые являются компонентами Мы можем записать ее в форме

Эту систему можно решить методом предыдущего параграфа, что требует определения жордановой канонической формы матрицы порядка, стоящей в левой части (30.5). Хотя это матрица высокого порядка, она имеет весьма простую форму и большое количество нулевых элементов. Если X — собственное значение собственный вектор" который разделен на векторов то

и, следовательно,

Эти уравнения имеют ненулевое решение, если

На практике мы имеем выбор — работать с матрицей В порядка и решать стандартную задачу на собственные значения или же иметь дело с уравнением (30.8), которое нестандартно, но в которое входят матрицу лишь порядка