Теорема Виландта — Гофмана

48. Эта теорема несколько другого типа, чем те, которые мы рассматривали. Она связывает возмущения собственных значений с евклидовой нормой возмущающей матрицы. Теорема, принадлежащая Гофману и Виландту (1953), состоит в следующем.

Если где симметричные матрицы с собственными значениями и расположенными в невозрастающем порядке, то

Гофман и Виландт дали весьма изящное доказательство, которое основано на теории линейного программирования. Доказательство, которое следует, менее изящно, но более элементарно. Оно в основном принадлежит Гивенсу (1954).

Нам понадобятся две простые леммы.

(i) Если симметричная матрица X имеет собственные значения то

Действительно, существует ортогональная матрица такая, что

и, взяв евклидовы нормы от обеих частей, используя независимость евклидовой нормы от ортогональных преобразований, получим требуемый результат.

(ii) Если бесконечная последовательность ортогональных матриц, то существует подпоследовательность такая, что

Это следует из теоремы Больцано — Вейерштрасса для -мерного пространства, так как все элементы всех лежат в промежутке Матрица должна быть ортогональна, ибо

и потому, переходя к пределу, получаем

49. Пусть ортогональные матрицы такие, что

Тогда

и взяв нормы от обеих сторон, получим

Рассмотрим теперь множество значений "для всех ортогональных матриц Уравнение (49.3) показывает, что принадлежит к этому множеству. Это множество, очевидно, ограничено и поэтому имеет конечные верхнюю и нижнюю границы границы должны достигаться при некоторых так как непрерывная функция на компактном множестве ортогональных матриц.

50. Мы сейчас покажем, что I должна достигаться на таких для которых диагональна. Предположим, что существуют различных которые мы обозначим расположенных так, что

Мы можем написать

где единичные матрицы имеют соответствующие порядки. Если разбить в соответствии с (50.2), то можно написать

Мы покажем сначала, что I может быть достигнута лишь при тех которых недиагональные блоки в (50.3) — нули. Предположим, что существует ненулевой элемент х матрицы находящийся в строке и столбце и что такой элемент находится в блоке Тогда элементы на пересечении строк и столбцов матриц и имеют вид

где для простоты мы опустили индексы у рассматриваемых элементов Мы покажем, что можно выбрать элементарную ортогональную матрицу S, соответствующую вращению в плоскости такую, что

Обозначим соответствующие элементы на пересечении строк и столбцов Так как

легко видеть прямо из определения евклидовой нормы, что

и все остальные члены пропадают. Если угол вращения равен 0, то

Это дает

где так как x не нуль по предположению и — 8, не нуль, так как ; из различных диагональных блоков. Теперь имеем

и, следовательно, производная равна при что показывает, что подходящим выбором мы можем сделать

51. Таким образом, мы показали, что не может быть максимумом или минимумом при любом для которого X имеет ненулевые элементы

в каком-либо Предположим теперь, что ортогональная матрица, для которой достигает своего минимального значения. Тогда мы должны иметь

Если ортогональные матрицы такие, что

где диагональные, то, обозначая прямую сумму через получим

Следовательно,

и минимум должен всегда достигаться на матрице которая приводит А к диагональному виду. Ясно, что элементами являются в некотором порядке. Вспоминая, что 6, взятые с соответствующими кратностями, суть имеем

где перестановка

Покажем теперь, что минимум достигается при Пусть

при некоторой частной перестановке. Если предположим, что так что в паре с о. Переставим в перестановке. Тогда изменение в х будет

и, следовательно, сумма уменьшится. Аналогично, сохраняя на первом месте и связывая вместе мы видим снова, что сумма не возрастает. Следовательно, если каждое вычитается из соответствующего то сумма не больше, чем ее исходное значение.

Наш последний результат состоит в том, что минимальное значение равно Однако в (49.3) мы показали, что — одно из допустимых значений для следовательно,

Это завершает доказательство.

52. Наше доказательство тривиально распространяется на эрмитовы матрицы, но результат справедлив также для любой нормальной матрицы. В общем случае могут быть использованы сходные методы доказательства, хотя теперь элементы в и -позициях в (50.4) не будут комплексно сопряженными. Используя матрицы плоских вращений (43.4) главы 1, можем показать, что минимум достигается при диагональной Детали оставляются в качестве упражнения.