Численный пример

41. С целью обратить внимание на некоторые проблемы, возникающие при использовании методов предыдущих параграфов, приведем простой численный пример. В табл. 2 показывается применение метода ступенчатых итераций (§ 34) и метода ортогонализации (§ 38). Здесь А — матрица

Таблица 2 (см. скан)

третьего порядка, элементарные делители которой равны ).

При ступенчатых итерациях для приведения к треугольному виду проводился выбор главного элемента. Позиция главного элемента

оставалась постоянной на каждом шаге. Это будет всегда, если А имеет вещественные собственные значения, за исключением, быть может, нескольких первых шагов. Можно заметить, что последовательность вторых столбцов матриц быстро стремится к пределу. Это вектор, имеющий нулевую первую компоненту и лежащий в подпространстве, соответствующем квадратичному элементарному делителю. Первые столбцы стремятся к единственному собственному вектору, соответствующему но, конечно, сходимость медленная (§ 16). Так как А третьего порядка, последний столбец фиксирован как только позиции главных элементов стали постоянными, но быстро стремятся к Тот факт, что сходятся, и вторые столбцы стремятся к пределу значительно быстрее первых, является верным признаком того, что А имеет нелинейный элементарный делитель. (Если мы имеем два равных линейных элементарных делителя, то оба столбца имеют пределы, а если имеем комплексно сопряженную пару собственных значений, то ни один из них не имеет предела.) Можно проверить, что столбцы 1 и 2 порождают инвариантное подпространство. Для этого покажем, что первые два столбца и первые два столбца почти линейно зависимы. В самом деле, по методу наименьших квадратов имеем

Собственные значения находятся из матрицы второго порядка в соотношении (41.1). Характеристическое уравнение

но собственные значения плохо обусловлены. Напомним, что это же было верно в примере § 13.

Рассмотрим теперь метод ортогонализации. Мы видим, что третий столбец стремится к пределу, который равен вектору, ортогональному к подпространству, соответствующему квадратичному элементарному делителю. Этот вектор должен быть равен но в нашем примере он не такой точный, как можно было бы ожидать. Это произошло потому, что мы использовали процесс ортогонализации Шмидта вместо использования матриц отражения. В нашем примере точный третий столбец можно легко получить вычислением (единственного) вектора, ортогонального первым двум столбцам. Ни один из первых двух столбцов не сходится быстро. Первый столбец медленно сходится к единственному собственному вектору, соответствующему . В самом деле, с точностью до нормирующего множителя, он совпадает с первым столбцом Второй столбец так же медленно стремится к вектору из двухмерного подпространства, ортогональному к собственному вектору. Элемент быстро стремится к Знак может быть определен из того обстоятельства, что третий столбец меняет знак при каждой итерации.

В этом случае у нас нет такого же ясного признака присутствия нелинейного элементарного делителя, как при ступенчатых итерациях, но сходимость третьего вектора показывает, что первые два уже порождают

инвариантное подпространство. Соответствующие собственные значения определяются из первых двух столбцов которые почти линейно зависимы. По методу наименьших квадратов имеем

и характеристическое уравнение матрицы второго порядка есть

Снова определение собственных значений плохо обусловлено.

В случае наличия вместо нелинейного элементарного делителя комплексно сопряженной пары собственных значений метод ступенчатых итераций имеет ту отрицательную черту, что позиции главных элементов меняются в течение всего процесса итераций. Вектор, соответствующий действительному собственному значению, которое меньше по модулю, чем комплексная пара, не будет теперь стремиться к пределу, так как его нулевой элемент не будет в фиксированном положении, и если мы не будем использовать схему главного элемента, то время от времени возможна сильная численная нестабильность. Ортогональная техника не обладает соответствующим дефектом.

Метод биортогонализации неудовлетворителен при наличии нелинейного элементарного делителя. Первые столбцы медленно стремятся к соответственно, причем ортогональны (гл. 1, § 7). Следовательно, из определения в § 40 биортогонализация остальных столбцов становится все более численно неустойчивой.