Элементарные унитарные преобразования

43. В предыдущем параграфе мы использовали элементарные матрицы для того, чтобы преобразовать произвольный ненулевой вектор в Сейчас мы опишем первый из двух классов элементарных унитарных матриц, которые можно использовать для той же цели.

Рассмотрим матрицу такую, что

для остальных где вещественны. Эта матрица унитарная, если

что можно проверить, составив

Мы не нуждаемся в полной общности, которую дает соотношение (43.2), и будем считать

откуда

Такие матрицы мы будем называть плоскими вращениями. Ясно, что в силу (43.4) мы можем написать

где

Очевидно, тоже является плоским вращением при удовлетворяющим соотношениям

Поэтому обратная матрица к плоскому вращению тоже есть плоское вращение. При матрица вещественна и поэтому ортогональна и связь с вращением на угол 6 в плоскости очевидна.

44. Если произвольный вектор, то для любых мы можем выбрать плоское вращение такое, что компонента вещественна и не отрицательна, а компонента равна нулю. Ясно, что

для всех Мы имеем

Если то, предполагая, что не нуль, можно взять

где выбран положительным. Тогда ясно, что и

Если то можно взять Если мы не нуждаемся в том, чтобы была вещественной, то мы можем опустить параметр а в уравнении (43.1). Заметим, что если вещественна, то уравнение (44.2) дает вещественное значение для с в любом случае.

Вектор х может быть преобразован в последовательным умножением слева на плоское вращение в плоскостях Вращение в плоскости выбирается так, чтобы свести элемент к нулю. Как видно из доказательства, вращения можно выбирать так, что к вещественно и неотрицательно. Очевидно,

Отсюда следует, что если х и у таковы, что то существует произведение вращений такое, что

Действительно, как х, так и у могут быть преобразованы в произведением матриц плоских вращений, а обратная матрица плоского вращения тоже задает плоское вращение.