Теорема Кэли — Гамильтона
36. Так как А содержит 
элементов, то ясно, что минимальный полином А не может быть степени высшей чем 
Сейчас покажем, что если характеристическое уравнение А имеет вид
то
Это означает, что минимальный полином матрицы не может быть степени высшей чем 
Чтобы это доказать, введем союзную матрицу В для матрицы А. По определению это матрица, 
элемент которой равен алгебраическому дополнению элемента 
коэффициенту при 
в разложении 
по его 
строке. Поэтому имеем
Этот результат справедлив для любых матриц, а, следовательно, и для матрицы 
Союзная для 
матрица 
это 
-матрица каждый элемент которой есть полином степени 
или меньшей, так как он является минором 
порядка матрицы 
Мы можем написать
где 
матрицы 
-го порядка с постоянными элементами. Применяя результат (36.3) к 
получим
Это соотношение есть тождество по Я, и, приравнивая коэффициенты при степенях X, получим
Умножая эти уравнения на 
и складывая, имеем
Каждая квадратная матрица поэтому удовлетворяет своему собственному характеристическому уравнению. Этот результат известен как теорема Кэли — Гамильтона. Отсюда следует, что характеристический полином делится на минимальный полином, и поэтому степень минимального полинома не больше 
