Общераспространенная ошибка

32. Существует широко распространенное убеждение, что выбор больших ведущих элементов в некотором отношении вреден. Аргумент обычно следующий. Произведение ведущих элементов равно определителю А о и поэтому не зависит от их выбора. Если мы вначале выбираем большие ведущие элементы, то в конце они обязательно должны быть меньше и поэтому будут иметь большие относительные ошибки.

Итак, существуют матрицы, для которых последний ведущий элемент мал при выборе главного элемента во всей матрице, но не при выборе главного элемента в столбце. Однако этот ведущий элемент есть обратная величина некоторого элемента промежуточной обратной матрицы и, следовательно, не может быть меньше чем если только норма обратной матрицы не больше Если матрица в действительности имеет столь большую обратную матрицу, то соответственно падает и точность. Появление малого ведущего элемента есть просто один из видов проявления плохой обусловлености. В примере из § 30 мы видели, что использование не являющегося необходимым малого ведущего элемента может и не сделать последний ведущий элемент большим; это приводит лишь к очень большому ведущему элементу на следующем шаге и возвращению к нормальному на последующих.

Мы не утверждаем, что выбор наибольшего элемента в качестве ведущего является наилучшим, и в действительности это часто будет неверно. Мы лишь утверждаем, что до сих пор не предложен никакой другой практически приемлемый процесс. Одно из типичных предложений заключается в том, что в качестве ведущего элемента следует выбирать элемент, ближайший по модулю к корню степени из абсолютного значения определителя. Есть три возражения против этого и аналогичных ему предложений:

(i) Значение определителя обычно неизвестно до тех пор, пока не выполнено исключение.

(ii) Может не быть элементов, близких к предписанному значению.

(iii) Даже если неверны, нетрудно построить примеры, для которых этот способ неудачен. С другой стороны, выбор главного элемента по всей матрице никогда не является очень плохим.