Изменение приближенных собственных значений

62. До сих пор мы обсуждали обратные итерации, используя фиксированные приближения к каждому собственному значению, так что при определении каждого собственного вектора употреблялось лишь одно разложение в произведение треугольных. Это весьма эффективная процедура, если приближение к собственному значению хорошее. Скорость сходимости при этом такова, что вряд ли стоит использовать преимущества имеющегося после выполнения интерацииболее хорошего приближения.

Существует другой подход, при котором обратные итерации используются для первоначальной локализации собственного значения. Если А — симметричная, соответствующий итерационный процесс определяется

(см. гл. 3, § 54) уравнениями

На каждой стадии дается новое приближение к собственному значению отношением Релея, соответствующим текущему вектору. Легко показать, что этот процесс кубически сходится в окрестности каждого собственного вектора. Предположим, мы имеем

где означает, что индекс к пропущен при суммировании. Тогда

и, следовательно,

С точностью до нормирующего множителя имеем

и все коэффициенты, за исключением коэффициента при кубические по

Существует аналогичный процесс для несимметричных матриц, при котором на каждой стадии определяются приближенные правый и левый собственные векторы. Процесс имеет вид

Разложение матрицы в произведение треугольных дает возможность определить и Текущее значение есть теперь обобщенное отношение Релея, соответствующее и (гл. 3, § 58). Процесс снова сходится кубически. Предположим, что мы имеем

Тогда

и, следовательно, с точностью до нормирующих множителей

коэффициенты, кроме коэффициентов при кубичны по и Если число обусловленности собственного значения мало, то начало кубической сходимости задерживается.

Скорость сходимости, очевидно, весьма хорошая, хотя довольно, часто область кубической сходимости достигается тогда, когда количество

разрядов, с которым проводятся вычисления уже ограничивает возможное увеличение точности. Если требуются точные собственные значения, они могут быть получены аккуратным вычислением последнего отношения Релея или обобщенного отношения Релея. Обычно отношение Релея, полученное на этой стадии, совпадает с точным лучше, чем с одинарной точностью. Отношение может быть найдено точно без использования двойной точности, если мы вычислим величины

или в несимметричном случае

Вектор должен быть вычислен с использованием накопления скалярных произведений. Обычно происходит взаимное уничтожение, и одинарной точности может быть использован при определении

Островский (1958, 1959) дал весьма детальный анализ этих методов в серии статей, к которым читатель отсылается за дальнейшей информацией.

Определение и левых, и правых собственных векторов требует много времени. Если известно достаточно хорошее приближение к собственному значению, то сходимость обычного процесса обратных итераций во всяком случае будет более чем удовлетворительной. Прямые итерации, обратные итерации и исчерпывание могут использоваться в комбинации следующим образом. Прямые итерации используются до тех пор, пока не будет получено достаточно хорошее значение и некоторое приближение для собственного вектора. Затем применяются обратные итерации с начиная с последнего вектора, полученного при прямых итерациях. Окончательно после определения собственного вектора производится процесс исчерпывания» Эта техника особенно эффективна, если А — комплексная матрица. Великолепное описание ее использования содержится у Осборна (1958).