Отклонение от нормальности
50. Для того чтобы получить оценки ошибок, получающихся при использовании данного алгорифма, нам нужны не только оценки для эквивалентных возмущений в исходной матрице, но и оценки чувствительности требуемых величин. Естественно спросить, существует ли какой-либо простой путьоценки фактора чувствительности в случае проблемы собственных значений. Как мы знаем из главы 2, (31.2), если А нормальная, то собственные значения 
лежат в кругах
Поэтому мы могли бы ожидать, что если А «почти нормальная матрица», то ее собственные значения должны быть мало чувствительны. Если А — нормальная, то (гл. 1, § 48) существует унитарная матрица 
такая, что
тогда как (гл. 1, § 47) для произвольной матрицы существует унитарная 
такая, что
где 
строго верхняя треугольная, т. е.
Было бы разумно рассматривать 
как меру отклонения А от нормальности.
Хенричи (1962) использовал соотношение (50.3) для получения оценок влияния возмущений в А на ее собственные значения следующим образом. Пусть 
определена соотношением
так что
Если X есть некоторое собственное значение матрицы 
то 
вырождена. Мы различаем два случая:
(i) 
для некоторого i,
(ii) 
для любого 
при этом 
не вырождены.
Итак,
откуда
Уравнение (50.8) означает, что
где
в силу того, что 
строго верхняя треугольная. Полагая
имеем
Заметим, что этот результат верен и тогда, когда мы заменяем с на любую большую величину. Далее
и, следовательно, (50.13) показывает, что существует 
такое, что
Этот же результат имеет место и тогда, когда с заменяется на 
Так как в случае (i) очевидно, что соотношение (50.15) верно, оно верно и во всех случаях. Если А — нормальная, то 
приводит к (50.1).
