Простые практические примеры

7. Рассмотрим простой пример, в котором коэффициенты системы уравнений второго порядка находятся следующим образом. Каждый из четырех элементов матрицы А определяется измерением трех независимых величин, скажем, каждая из которых лежит в пределах ±1, и последующим их сложением, между собой. Предположим, что ошибки индивидуальных измерений; порядка и что полученная матрица такова:

причем при вычислении элементов второго столбца имело место сокращение. Если мы умножим второй столбец на 105, то эта матрица с точностью

до множителя будет ортогональной. Система уравнений, очевидно, плохо обусловлена, в том смысле, что вычисленным ответам нельзя верить.

Рассмотрим теперь вторую ситуацию, в которой элементы матрицы второго порядка получаются из измерения одной величины с относительной точностью Предположим, что элементы второго столбца измерены в единицах, которые много больше, чем единицы, использованные в первом столбце. Мы могли бы опять получить матрицу (7.1), но теперь вычисленные решения могут быть вполне удовлетворительны.

Аналогичные рассмотрения относятся и к тому случаю, когда элементы матрицы вычисляются из математических выражений по методам, которые содержат ошибки округления. Вообще говоря, будет существенная разница между ситуациями, в которых матрица типа (7.1) имела малые элементы во втором столбце в результате сокращения близких по модулю а противоположных по знаку чисел, и ситуациями, в которых эти элементы имеют большую относительную точность.