Простые примеры

51. Этот результат свободен от ограничений, которые мы обсудили в гл. 2, § 26. Если мы возьмем, например,

то и положив имеем

Если то максимум значения есть решение уравнения

и очевидно, что он лежит между

Чтобы сделать доступным использование (50.15), нам нужна верхняя оценка для с, которая могла бы быть вычислена достаточно легко. Для того чтобы А была нормальной, необходимо и достаточно, чтобы, была нулевой. Поэтому мы могли бы с достаточным основанием ожидать, что с связано с . Хенричи (1962) показал в действительности, что

а это требует выполнения двух матричных умножений. Так как для матричного умножения необходимо умножений, то объем работы далеко не мал.

К сожалению, матрица может иметь значительное отклонение от нормальности, будучи просто плохо обусловленной. Рассмотрим, например, матрицу

Здесь мы имеем следовательно, если X есть собственное значение то наш результат показывает, что или

или

Это означает, что или

и радиусы этих кругов больше чем Левые и правые собственные векторы этой матрицы таковы:

Итак (гл. 2, § 8), . Если к есть спектральное число обусловленности, то из соотношения (31.8) главы 2 следует, что и, согласно (30.7) из главы 2, собственные значения лежат в кругах

Очевидно, что когда мало, результаты (51.8) очень слабы.