Простые примеры
51. Этот результат свободен от ограничений, которые мы обсудили в гл. 2, § 26. Если мы возьмем, например,
то
и положив
имеем
Если
то максимум значения
есть решение уравнения
и очевидно, что он лежит между
Чтобы сделать доступным использование (50.15), нам нужна верхняя оценка для с, которая могла бы быть вычислена достаточно легко. Для того чтобы А была нормальной, необходимо и достаточно, чтобы,
была нулевой. Поэтому мы могли бы с достаточным основанием ожидать, что с связано с
. Хенричи (1962) показал в действительности, что
а это требует выполнения двух матричных умножений. Так как для матричного умножения необходимо
умножений, то объем работы далеко не мал.
К сожалению, матрица может иметь значительное отклонение от нормальности, будучи просто плохо обусловленной. Рассмотрим, например, матрицу
Здесь мы имеем
следовательно, если X есть собственное значение
то наш результат показывает, что или
или
Это означает, что или
и радиусы этих кругов больше чем
Левые и правые собственные векторы этой матрицы таковы:
Итак (гл. 2, § 8),
. Если к есть спектральное число обусловленности, то из соотношения (31.8) главы 2 следует, что
и, согласно (30.7) из главы 2, собственные значения
лежат в кругах
Очевидно, что когда
мало, результаты (51.8) очень слабы.