Алгебраические функции

3. В дальнейшем нам понадобятся два результата из теории алгебраических функций (см., например, Гурса, 1933). Мы их сформулируем без доказательства.

Рассмотрим

где полиномы от х. При любом значении х уравнение имеет корней причем каждый корень взят столько раз, какова его кратность. Корни обозначим через Справедливы две теоремы.

Теорема 1. Предположим, что простой корень Тогда найдется положительное число такое, что существует простой корень уравнения вида

причем ряд в правой части (3.2) сходится при

Замечания, (i) Мы требуем, чтобы только корень который мы рассматриваем, был простым; о природе остальных корней уравнения не делается никаких предположений.

(ii) Ряд в правой части (3.2) может обрываться.

Теорема 2. Если корень кратности уравнения то найдется положительное число такое, что существуют точно нулей которые при имеют следующие свойства.

Эти корней распадаются в групп по корней соответственно, где

и корни в группе определяются как значений рядов

соответствующих различным значениям z вида

Замечания. (i) Снова некоторые из рядов (3.4) могут оорываться.

(ii) Может быть, что тогда и все корней даются одним и тем же дробным степенным рядом.

(iii) При некотором может быть так что в этом случае соответствующий степенной ряд не имеет дробных степеней.

(iv) Все корней стремятся к (0) при х, стремящемся к нулю.