Рекомендации

61. Среди методов, использовавшихся мной для вещественных матриц, наиболее эффективный был основан на следующей комбинации методов Лагерра и Берстоу. Для каждого собственного значения сначала применялся метод Лагерра, но если сходимость не получалась за предписанное число к итераций, включался метод Берстоу. На практике к равнялось 32, хотя наиболее часто сходимость обеспечивалась 4—10 итерациями. Использовались методы удаления §§ 55, 56, а не процесс исчерпывания.

Если исходная матрица общего вида, я предпочитал привести ее к форме Хессенберга, и затем использовать эту форму для вычисления значений функции и ее производных. Вычисления с обычной точностью почти неизменно давали верными те знаки, которые не меняются при относительных возмущениях порядка элементов исходной матрицы. Для общих целей этот метод оказался лучше всех других, использованных мной, за исключением метода Френсиса, описанного в следующей главе.

Я также экспериментировал с дальнейшим приведением к трехдиагональному виду, но рекомендую, чтобы в этом случае и приведение к трехдиагональному виду, и вычисление значений функции и ее производных производились с двойной точностью для предохранения от возможного ухудшения обусловленности собственных значений. Для матриц порядка более 16 это быстрее, чем использование формы Хессенберга с обычной точностью, и за исключением редких случаев, когда ухудшение обусловленности было исключительно велико, трехдиагональные матрицы давали более точный результат. Мое предпочтение формы Хессенберга поэтому можно рассматривать как проявление излишней осторожности.

Хотя мы видели, что использование формы Фробениуса опасно, так как она может быть катастрофически плохо обусловлена по сравнению с исходной матрицей, программы, основанные на таком приведении, удивительно хороши для матриц, возникающих в задачах о затухании электрических или механических колебаний. Для соответствующих характеристических полиномов обычна хорошая обусловленность. Если это верно, методы, основанные на явных характеристических полиномах, и экономичны и точны.