Практические рассмотрения

32. Несмотря на то, что процесс Арнольди с нормировкой так тесно связан с методами Гивенса и Хаусхолдера, вычислительный процесс имеет с ними очень мало общего. Рассмотрим более детально практический процесс. Нам больше не надо предполагать, что равен Будем брать в качестве произвольный нормированный вектор. Рассмотрим вектор вида

где выбраны так, чтобы был ортогонален к Может случиться, что при вычислении происходит взаимное уничтожение, так что все компоненты малы по сравнению с . В этом случае не будет даже приблизительно ортогонален (Сравните с аналогичным явлением, обсуждавшимся в гл. 4, § 55 в связи с ортогонализацией Шмидта.)

Существенно, чтобы оставались строго ортогональными с рабочей точностью. В противном случае нет гарантий, что есть нуль с рабочей точностью. Возникающую трудность нельзя отнести на счет накопления ошибок округления. Это может случиться на первом шаге вычислений с матрицей второго порядка, что и иллюстрируется в табл. 3.

Таблица 3 (см. скан)

При вычислении

происходит почти полное взаимное уничтожение. Следовательно, никоим образом не ортогонален Если мы, пренебрегая этим, продолжим процесс, нормируя 62, то не будет почти нулем, как должно было бы быть, если бы и были почти точно ортогональны. Матрица никоим образом не подобна А. (Вычисления были проведены с использованием блочно-плавающей арифметики, но это не имеет никакого значения. Те же самые трудности возникли бы при использовании любой арифметики.) След равен 0,62888 вместо 0,62697, и порядка вместо

Предположим теперь, что мы переортогонализируем вычисленный вектор 62 по отношению к Можно написать

и из ортогональности имеем

Так как уже один раз ортогонализовался по отношению к мы можем быть уверены, что порядка Следовательно,

Исходная ортогонализация дает вектор удовлетворяющий Соотношению

и, следовательно,

Переортогонализация поэтому не делает соотношение между сколько-нибудь менее удовлетворительным, но она дает такой вектор который ортогонален к с рабочей точностью в том смысле, что угол между ними отличается от на величину порядка

Это иллюстрируется в табл. 3. Нормированный вектор вычисляется из так что

Так как и теперь почти ортогональны, действительно с рабочей точностью равен нулю. Заметим, что вычисленные величины удовлетворяют соотношениям

так что

что является наилучшим результатом, который можно было бы ожидать. Он показывает, что вычисленная сейчас почти точно подобна А. Заметим, что след сохранился с рабочей точностью, и можно проверить, что это же верно и для собственных значений, а также для собственных векторов, получающихся после преобразования.