Ограничения теории возмущений
26. Несмотря на то, что теория возмущений, развитая нами в §§ 14— 25, имеет большое практическое значение, целесообразно на данной стадии обратить внимание на некоторые ее недостатки. Мы изучали природу возмущений при 
Рассмотрим простую матрицу
Эта матрица имеет нелинейный элементарный делитель 
и если мы добавим возмущение 
к элементу в позиции (2,1), то собственные значения станут 
Производные по 
этих собственных значений поэтому стремятся к бесконечности при 
, стремящемся к нулю. Однако, если мы интересуемся возмущениями порядка 
этого можно избежать. Если возмущающая матрица имеет вид
гораздо естественнее рассматривать эту проблему в виде возмущения
матрицы
и эта последняя матрица уже не имеет нелинейного элементарного делителя.
Рассматривая собственные векторы, мы раскладывали их возмущения на компоненты в направлениях 
Когда 
ортогональны,
это вполне удобно, но если некоторые из 
линейно зависимы, то мы можем получить большие компоненты в направлении отдельных даже если вектор возмущения сам по себе мал. Мы видели в § 10, что возмущение, соответствующее простому собственному значению 
имеет вид
и, следовательно, можем ожидать, что, вообще говоря, если 
мал, то компонента в направлении 
велика. Однако, как это может ввести в заблуждение, показывает пример матрицы
Легко показать, что
Однако вектора, соответствующий 
без сомнения нечувствителен к возмущениям матрицы. Два же вектора 
почти одинаковы (так же, как и 
а множители 
и почти одинаковы по модуля и противоположны по знаку. Поэтому возмущения в направлениях 
почти погашаются.
