Обобщенные процессы Хессенберга

26. Наше обсуждение метода Крылова показало, что он дает хорошие результаты только при благоприятных расположениях собственных значений. Однако надо заметить, что такие благоприятные расположения совсем не необычны для матриц, возникающих в связи с затухающими

механическими и электрическими колебаниями, когда собственные значения являются, вообще говоря, комплексно сопряженными парами.

С целью расширения круга удовлетворительных приложений были найдены методы, которые «стабилизировали» последовательность векторов Крылова. Они могут быть объединены под названием «обобщенных методов Хессенберга». Основа всех таких методов заключается в следующем.

Пусть дана система линейно независимых векторов которые являются столбцами матрицы Начиная с произвольного вектора мы образуек систему модифицированных векторов Крылова определенных соотношениями

(Нам удобнее называть теперь начальный вектор , а не так как мы уже не занимаемся прямым определением характеристического уравнения.) Здесь скаляры, введенные для численного удобства, являющиеся обычно нормирующими множителями. Числа определены так, чтобы был ортогонален Вектор должен быть равен нулю, если только не будет равен нулю более ранний так как он ортогонален к линейно независимым векторам. Уравнения (26.1) могут быть записаны в виде одного матричного уравнения

или

где матрица в верхней форме Хессенберга.

То, что уравнение (26.2) включает условие можно увидеть, если приравнять столбцы в обеих сторонах и сравнить с (26.1). Условие ортогональности может быть записано в виде

где нижняя треугольная матрица. Предполагая, что В — неособенная, мы можем переписать (26.3) в виде

Для удобства мы предположили, что векторы даны заранее. Однако это нигде не требуется, и на самом деле мы можем вводить их вместе с при помощи какого-либо целесообразного процесса.