Векторные и матричные нормы

52. Как векторам, так и матрицам оказывается удобно сопоставлять некоторое число, характеризующее в некотором смысле их величину и играющее ту же роль, что и модуль для комплексных чисел. Для этой цели будем использовать определенные функции элементов вектора или матрицы, которые называются нормами. Норма вектора будет

обозначаться и все нормы, которыми мы пользуемся, удовлетворяют соотношениям

Из (iii) имеем

Мы будем употреблять только три векторные нормы, именно

где интерпретируется как

Норма есть евклидова длина вектора х в обычном смысле. Мы также имеем

и

по теореме Коши. Поэтому можно записать

Если х и у вещественны, то угол между двумя векторами; в комплексном случае мы можем рассматривать определенный в (52.5), как обобщение угла между двумя векторами.

Аналогично нормы матрицы А будем обозначать и все употребляемые нами нормы удовлетворяют соотношениям