Сходимость LR-алгорифма Холецкого

52. Если положительно определенная, то стремится к диагональной, независимо от природы собственных значений. Мы уже доказали, что -алгорифм для положительно определенных матриц всегда сходится, и связь -алгорифма Холецкого и -алгорифма обеспечивает сходимость первого. Следующее доказательство не зависит от этой связи.

Пусть обозначают угловые главные миноры соответственно. Из соотношения следует:

С другой стороны, из соотношения и теоремы Бине — Коши А ту равен сумме произведений соответствующих миноров порядка образованных из первых строк и первых столбцов Но соответствующие миноры равны, так как эти матрицы транспонированы друг

другу, и, следовательно, представляется в виде суммы квадратов. Одно слагаемое равно следовательно,

Поэтому каждый угловой минор увеличивается с ростом и в силу их очевидной ограниченности они стремятся к пределу. Из этого немедленно следует, что все недиагональные элементы стремятся к нулю. Методом, аналогичным §§ 33, 34, можно показать, что если собственные значения различны и предельная диагональная матрица имеет собственные значения, расположенные в убывающем порядке, то стремятся к нулю

как .

Интересно сравнить стандартный LR и LR Холецкого, когда они применяются к одной и той же симметричной матрице. Если то, предполагая, что неособенная, мы должны иметь

где некоторая диагональная матрица. Следовательно, Аналогично, если

то из единственности, с точностью до диагональной матрицы, разложения в произведение треугольных мы должны иметь

для некоторой диагональной Следовательно,

Мы видим, что на каждом этапе получается из при помощи преобразования подобия с диагональной матрицей, так что

Заметим, что все это верно, даже если положительно определенная, но в этом случае матрицы будут комплексными при четных и может наступить стадия, на которой не имеет разложения в произведение треугольных.

В положительно определенном случае мы знаем, что обязательно становятся диагональными, в то время как становятся лишь верхними треугольными. Элементы обязательно порядка

53. Можно применить сдвиги в LR-алгорифме Холецкого, но если мы хотим, чтобы все элементы оставались вещественными и процесс был численно устойчивым, они должны быть выбраны так, чтобы были положительно определенными на каждой стадии. С другой стороны, для быстрой сходимости желательно выбирать как можно более близким к наименьшему собственному значению. Таким образом, выбор сдвига является более деликатной проблемой, чем в случае матриц Хессенберга. Таких трудностей не возникает с -алгорифмом, где вообще не надо беспокоиться о положительной определенности.