Ограниченность итерационного процесса

73. Анализ, подобный анализу, данному Уилкинсоном (1963b, стр. 121—126), показывает, что при отсутствии роста ведущих элементов любой из итерационных процессов должен сходиться для всех матриц, удовлетворяющих некоторому критерию вида

где зависит от метода триангуляризации и типа использованной арифметики. Если процесс не сходится и при триангуляризации нет роста ведущих элементов, то мы можем быть абсолютно уверенными, что А не удовлетворяет (73.1). Мы можем сказать, что матрица «слишком плохо обусловлена, чтобы систему можно было решить по рассматриваемому методу» без использования более точной арифметики.

Однако остается еще возможность, что несмотря на то, что (73.1) не выполнено, процесс явно сходится и все же дает неверный ответ. Попытки построить такие примеры сразу же показывают, насколько это маловероятно даже для одной правой части; если же нас интересуют несколько правых частей, то кажется почти непостижимо, чтобы мы могли заблуждаться на этот счет. Даже в случае плохо обусловленных матриц, о которых упоминалось в § 66 и у которых немал ни один из ведущих элементов, [решение порядка единицы, а первая невязка порядка эта плохая

обусловленность сразу же полностью обнаруживается, когда вычисляется первая поправка.

В любой автоматической программе, основанной на итерационном процессе, легко можно включить дополнительные проверки: ведущие элементы порядка или решения порядка являются верным признаком того, что обусловленность матрицы такова, что сходимость итераций маловероятна, а если уж она имеет место, то не гарантируется правильность решения. Даже неубывание двух последовательных поправок является безошибочным доказательством того, что (73.1) не выполняется.