Разложение матриц As
45. При использовании двухшаговой техники мы также можем использовать способы, описанные в §§ 37, 38. Если поддиагональный элемент на некоторой стадии с рабочей точностью равен нулю, то это очевидно. В случае, когда два последовательных поддиагональных элемента «малы», модификация не столь тривиальна. Если 
достаточно малы, мы надеемся начинать преобразования с 
вместо 
По аналогии с (41.11) вычисляем 
вида
и по ним определяем 
обычным способом. В случае 
матрицы имеют вид
где мы обозначили 
через 
для того, чтобы подчеркнуть, что они малы. Умножение слева на 
не меняет первые 
строк. Часть, обозначенная 
в (45.2), имеет только один отличный от нуля элемент и, вообще говоря, после умножения слева будет иметь три ненулевых элемента, как показано в (45.3):
у матрицы 
изменятся строки 
обычным образом. Мы требуем, чтобы 
были пренебрежимо малыми. В обозначениях § 44 имеем
Из (45.1) мы видим, что 
имеют множитель 
не будет, вообще говоря, малым. Следовательно, 
имеют
множитель 
так что 
имеют множитель 
будет равен 
если 
достаточно мало. Нет надобности вычислять 
точно. Достаточным условием того, что можно начинать с 
строки, является следующее:
Заметим, что для того чтобы получить 
надо изменить знак 
Обычно очень важно при обоих методах, которые мы описали, полностью использовать преимущества малости поддиагональных элементов. К сожалению, надо отметить, что при применении этих приемов нельзя думать только о сокращении количества умножений. Приведение матрицы к форме Хессенберга единственно, только если поддиагональные элементы отличны от нуля, и поэтому важно использовать только нижнюю подматрицу, если поддиагональный элемент пренебрежимо мал. В этом случае верхняя и нижняя половины матрицы слабо связаны. Если некоторые собственные значения верхней половины меньше собственных значений нижней половины, то при достаточно большом количестве итераций с нулевым сдвигом малое собственное значение верхней половины будет проникать в нижний правый угол, но из-за того, что связь слабая, этот процесс будет очень медленным. Применение способов, которые мы описали, помогает избежать потери времени, но при этом собственные значения не получатся в порядке возрастания их абсолютной величины.
