Трехдиагональные A и B

72. Если трехдиагональные матрицы, то метод, который мы обсудили для решения уравнения становится непривлекательным, так как вообще говоря, будет полной матрицей. Эта задача может быть решена методом, аналогичным тому, который использовался в § 39. Сначала докажем следующую простую лемму.

Если симметричные и В положительно определенная, то нули определителя матрицы разделяют нули определителя матрицы где матрицы главных миноров порядка Это следует замечания, что если

то

и уравнение (72.1) дает взаимно однозначное соответствие между ненулевыми Следовательно, нули определителя матрицы даются экстремумами отношения для ненулевых (ср. гл. 2, § 43). Теперь мы можем доказать теорему разделения для нулей определителей матриц точно таким же путем, как в гл. 2, § 47. Итак, если обозначим

то полиномы, определенные соотношениями

образуют последовательность Штурма, и мы можем найти нули методом деления пополам так же, как в § 39. Мы можем найти знаки определителей матриц так же, как в § 47, выполняя исключение Гаусса с перестановками в трехдиагональной матрице Как и в более простой задаче, нам не обязательно все время следовать методу деления пополам, а можно переключаться на некоторый квадратично сходящийся процесс для нахождения нулей если только они изолированы.

Для того чтобы вычислить собственный вектор при хорошем приближении X, обратная итерация теперь требует решения уравнений

так как они означают, что

Снова в общем случае мы будем ожидать, что достаточно двух итераций.

Эти методы полностью используют трехдиагональный вид