Наибольший общий делитель k-строчных миноров лямбда-матрицы

19. Рассмотрим -строчные миноры канонической формы Смита. Если то все -строчные миноры равны нулю. С другой стороны, единственные отличные от нуля -строчные миноры — это произведения к сомножителей, взятые из Так как каждый есть множитель то наибольший общий делитель (н. о. д.) -строчных миноров будет равен Следовательно, если

Мы покажем, что н. о. д. для -строчных миноров матрицы (мы выберем коэффициент при высшей степени X равным единице) инвариантен при преобразованиях эквивалентности. Действительно, если

то любой -строчный минор может быть выражен в виде суммы членов вида Росозначают -строчные миноры соответственно. Следовательно, н. о. д. для -строчных миноров А делит любой -строчный минор С другой стороны, так как

также -матрицы, н. о. д. -строчных миноров делит любой к-строчный минор Поэтому два н. о. д. должны совпадать.

Все эквивалентные -матрицы поэтому имеют одинаковую каноническую форму Смита. Полиномы называются инвариантными множителями или инвариантными полиномами