Симметричный процесс Ланцоша

41. Если А — вещественная и симметричная, и мы берем то наши две последовательности векторов совпадают. Если, кроме того, на каждой стадии мы выбираем так, что то видно, что симметричный процесс Ланцоша и симметричный процесс Арнольди совпадают. В симметричном процессе Ланцоша переортогонализация так же важна, как и в несимметричном, но требует вдвое меньше вычислений. Однако, как уже отмечалось в связи с общим случаем метода Арнольди, мы не можем иметь так как из нормировки.

Если переортогонализация включена, то численная устойчивость симметричного метода Ланцоша сравнима с численной устойчивостью симметричного приведения Гивенса и Хаусхолдера к трехдиагональному виду, но, конечно, приведение Хаусхолдера значительно более экономно. Никакой потери точности не будет, если начальный вектор имеет малые

или не имеет совсем составляющих по некоторым собственным векторам, но переортогонализация будет особенно важна в этих случаях. Если мы возьмем то с точностью до знаков процесс Ланцоша дает ту же самую трехдиагональную матрицу, что и методы Гивенса и Хаусхолдера, при точных вычислениях. Трудно придумать какую-либо причину, по которой мы использовали бы метод Ланцоша в предпочтение методу Хаусхолдера.

Мы предполагали, что нормирующие множители выбраны так, что на каждой стадии так как это делает связь с другими методами особенно тесной. Однако этот выбор не служит никакой другой полезной цели и вызывает необходимость использования квадратных корней. На практике проще выбирать степенями двух, так чтобы наибольший элемент лежал между 1/2 и 1. При точных вычислениях все неотрицательны, так как из (35.12) имеем

Однако вычисляются таким способом, и возможно, что вычисленные будут малыми отрицательными величинами. В этом случае не будет квазисимметричной (гл. 5, § 66). При вычислении собственных значений такие должны быть заменены нулями.