Исчерпывание для матриц Хессенберга

49. Для явного полинома после определения корня можно определить явный полином, имеющий остальные корней. Естественно спросить, существуют ли аналогичные методы для каждой из остальных специальных форм, и если есть, то будут ли они устойчивы. Вопрос можно точно поставить следующим образом.

Если известно собственное значение матрицы Хессенберга (трехдиагональной) порядка можно ли получить матрицу Хессенберга

(трехдиагональную) порядка имеющую остальные собственных значений?

Рассмотрим сначала случай матрицы Хессенберга. Пусть собственное значение верхней матрицы Хессенберга А. Как всегда, можно предположить, что все поддиагональные элементы А отличны от нуля. Если в методе Химана, описанном в § 11, взять z то определится матрица вида

такая, что элементы последнего столбца равны нулю, кроме первого, который пропорционален Так как есть собственное значение. равен нулю, и, следовательно, весь последний столбец равен нулю. Заметим, что с точностью до последнего столбца В совпадает с так что при имеет вид

Можно завершить преобразование подобия, умножив В слева на что соответствует прибавлению строки, умноженной на строке для всех от 1 до Ясно, что это не нарушит формы Хессенберга и нулей в последнем столбце, так что также имеет вид Следовательно, имеет вид

Таким образом, оставшиеся собственные значения равны собственным значениям матрицы Хессенберга порядка в верхнем левом углу.

50. Так как трехдиагональные матрицы являются частным случаем матриц Хессенберга, к ним можно приложить описанный выше процесс. Умножение справа на не меняет первые столбцов, и форма (49.2) имеет вид

Умножение слева на меняет только столбец так, что

окончательная матрица имеет вид

Матрица порядка в верхнем левом углу уже не трехдиагональная; она имеет дополнительные ненулевые элементы в целом последнем столбце. Следовательно, трехдиагональная форма не инвариантна по отношению к нашему процессу исчерпывания.

Принято называть матрицы, полученные из трехдиагональных добавлением ненулевых элементов в последнем столбце, дополненными трехдиагоналъными матрицами. Из нашего рассмотрения сразу следует, что дополненные трехдиагональные матрицы инвариантны по отношению к нашему процессу исчерпывания. Более точно, процесс исчерпывания матрицы приводит к матрице причем имеют вид

Таким образом, хотя при исчерпывании трехдиагональная форма и не сохраняется, матрица при этом не становится значительно сложнее.