Обратные итерации с ленточными матрицами

56. Обратные итерации еще более экономичны в случае трехдиагональных матриц. Мы уже обсуждали этот вопрос в главе 5 в связи с симметричными матрицами, но так как симметрия не дает никаких преимуществ, то комментарии немедленно применимы к несимметричному случаю, за исключением того, что теперь некоторые собственные значения могут быть комплексными, даже если матрица вещественная.

Как мы видели в главе 6, нельзя без дополнительных предположений гарантировать, что обычные методы приведения матриц к трехдиагональному виду будут устойчивыми. Поэтому, если трехдиагональная матрица получена из матрицы общего вида при помощи промежуточной матрицы Хессенберга, мы рекомендуем находить собственные векторы х

матрицы Хессенберга, а не трехдиагональной. Более того, если собственный вектор матрицы Хессенберга уже вычислен, его можно использовать для улучшения собственного значения при помощи прямых итераций, так как оно могло быть определено сравнительно неточно, если переход от формы Хессенберга к трехдиагональной был сравнительно неустойчив. Мы подчеркиваем, что если мы нашли собственный вектор трехдиагональной матрицы, то в любом случае, для того чтобы получить собственный вектор исходной матрицы, мы должны определить по нему собственный вектор матрицы Хессенберга. Поэтому не будет неэкономно определять собственный вектор матрицы Хессенберга непосредственно.

В задачах на собственные значения, связанных с уравнениями в частных производных, часто возникают ленточные матрицы ширины более трех. Обычно такие матрицы симметричны и положительно определены, но так как мы работаем с положительная определенность обязательно утрачивается, если только не есть приближение к наименьшему собственному значению. Поэтому при разложении в произведение двух треугольных должны быть использованы перестановки, так что получается разложение в произведение треугольных матрицы где матрица перестановок. Если

то легко проверить, что когда А является ленточной матрицей ширины матрица имеет лишь ненулевых поддиагональных элементов в каждом столбце (за исключением, конечно, последних столбцов), имеет не более ненулевых элементов в каждой строке. Соблазнительно, но неразумно опустить перестановки, особенно если нужно определить несколько средних собственных значений. Заметим, что эти замечания справедливы независимо от того, симметрична или нет матрица А.

Этот метод был использован на для нахождения нескольких собственных векторов симметричной ленточной матрицы порядка 1500 и ширины 31, начиная с довольно хороших собственных значений. Использование отношения Релея дало возможность получить собственные значения с очень высокой точностью при очень малом количестве дополнительной работы.