Анализ ошибок метода Якоби

18. Метод Якоби не вполне охватывается общим анализом, данным в гл. 3, §§ 20—36, так как вычисление несколько отличается от того, что приведено там. Однако мы показали, что вычисленные имеют малые относительные ошибки по сравнению с точными значениями, соответствующими текущей вычисленной матрице, поэтому изменения в анализе главы 3 очень просты.

Предлагаем в качестве упражнения показать, что в главе 3 в уравнении (21.5) множитель можно заменить на если вычисляются согласно § 12. Если выполняется полных циклов и окончательно вычисленная диагональная матрица обозначается через то соответственно уравнению (27.2) главы 3 имеем

где есть точная ортогональная матрица, полученная как точное произведение точных плоских вращений, соответствующих вычисленным Если возьмем равным шести, то

Это означает, что если являются точными собственными значениями матрицы и как так и расположены в возрастающем порядке, то

Как обычно, последний множитель на практике не имеет большого значения, так как если правая часть должна быть достаточно малой, то этот множитель почти равен единице. Правая часть (18.3) есть максимальная верхняя оценка, и мы могли бы ожидать, что статистическое распределение ошибок округления обеспечит оценку такого порядка:

Если мы возьмем, например, то правая часть равна примерно Это показывает, что, вероятно, на практике время или объем памяти должны быть более ограничивающими факторами, чем точность вычисленных собственных значений.