Анализ ошибок вычисления матрицы отражения

39. Предположим теперь, что х имеет компоненты с плавающей запятой и используем вычисление, чтобы получить матрицу Мы хотим найти оценку для где -точная матрица, соответствующая данному х. Так как для целей данного вычисления можно рассматривать х как точный вектор, то мы опустим черточки над его компонентами.

В уравнениях § 38 есть свобода в выборе знака. Мы найдем, что для численной устойчивости правильный выбор таков, что

так что никакое уничтожение знаков при вычислении не имеет места. Итак, если положительно, берем

В предположении, что должно быть положительно, не потеряно никакой общности; при условии, что мы берем устойчивый выбор знака, оценки ошибки не зависят от знака х.

Этапы вычисления состоят в следующем.

(i) Вычисляем величину а, определенную равенством

причем сохраняем в а -разрядную мантиссу, так как она требуется на этапах (ii) и (iii). Итак,

и заведомо из (9.4) и (9.5) имеем

Поэтому

(ii) По а вычисляем где

с учетом (10.2). Следовательно,

где

(iii) Вычисляем где

причем заведомо из (9.4) и (9.5)

В этом вычислении большая часть накопления скалярного произведения была сделана в

Объединяя эти результаты и помня, что положительно, имеем

Теперь, если мы запишем

то будем иметь

Так как положительны и то это дает

Опять важен выбор знака; если отрицательно, то мы должны взять чтобы быть уверенными в малой относительной ошибке. Поэтому окончательно

(iv) Наконец, вычисляем . Лишь один первый элемент нуждается в вычислении, и мы имеем

Наш выбор знака также гарантирует здесь малую относительную ошибку поэтому

Мы можем написать

где

и, следовательно,

40. Матрицу выгодно оставить в факторизованной форме

так как часто такое представление будет самым удобным для работы. Никакие дальнейшие ошибки округления не появляются до тех пор, пока мы не попытаемся использовать как множитель, а это требует отдельного анализа. Из (40.1)

Так как то простое вычисление, использующее (39.17), (39.23) и (39.24), показывает, что

Отметим, что оценка не зависит от так как эквивалентна плоским вращениям, весьма хороша.

Для некоторых приложений удобно преобразовать и вычислить вектор определенный равенством

так что

Из

и, следовательно,

где

Для вычисленной таким образом, мы имеем

Так как для любых векторов то мы можем заменить -норму евклидовой в приведенных выше оценках.

Возвращаясь к случаю, когда изменяются лишь последние компонент, мы получим матрицу вида

где порядка . Напомним, однако, что наша оценка ошибки не зависит от