Верхние оценки матриц возмущения для арифметики с фиксированной запятой

25. Предположим, что исходные уравнения были нормированы и уравновешены по крайней мере приближенно и были сделаны перестановки. Предположим далее, что все и Ъограничены по модулю единицей. В общем случае есть ошибка, сделанная при вычислении из вычисленных значений и В этом процессе сделана лишь одна ошибка и то в тот момент, когда — разрядное произведение округляется до разрядов. Следовательно,

Это справедливо для всех за исключением тех из них, которые возникают из-за ошибки округления при делении во время вычислений

Из (24.3) следует, что удовлетворяет неравенству

так как это ошибка одного деления; мы уверены, что так как и поэтому округление не может привести означению, которое по модулю больше единицы. Следовательно, из (24.4) и нашего предположения относительно элементов преобразованных матриц имеем

Аналогично при сделанном предположении относительно элементов

Объединяя соотношения (25.1), (25.3) и (25.4) для всех соответствующих к, получаем

причем этот результат дает максимальные верхние оценки.

Ошибки на каждом шаге исключения для предыдущего примера представлены в табл. 1. Внизу таблицы показана точная матрица Ее следует сравнить с матрицей с соответственно переставленными строками. Заметим, что разность между ними есть точная сумма матриц ошибок на каждом шаге.