Матрицы отражения с плавающей запятой

37. Мы обратимся теперь к использованию матриц отражения (гл. 1, §§ 45, 46). Нецелесообразно давать анализ каждого из способов. Мы выбрали способ, потому что он эффективен на практике, а анализ остальных способов мы дали в других работах (см., например, Уилкинсон (1961b) и (1962b)). В самом общем случае положение, возникающее в существующих алгорифмах, состоит в следующем.

Пусть нам дан вектор х порядка с компонентами с плавающей запятой, и мы хотим определить матрицу отражения так, чтобы левое умножение на оставляло первые компонент х без изменения и исключало элементы Будем предполагать, что вещественный, и дадим соответствующий математический анализ, не учитывая вначале ошибки округления. Если мы напишем

где вектор с компонентами, то

Здесь матрица отражения порядка , так как

Представив для согласования с в виде

имеем

Следовательно, мы должны выбрать только так, чтобы имел нули везде, кроме своей первой компоненты.

38. Очевидно, что наша исходная задача, которая имела параметры в основном эквивалентна более простой задаче с параметрами Поэтому мы не потеряем общности, если временно рассмотрим следующую проблему. Дан вектор х порядка нужно построить матрицу отражения такую, что

Так как -норма инвариантна, то если

будем иметь

Поэтому уравнение (38.1) дает

и, следовательно,

где

Возводя уравнения (38.6) в квадрат, складывая и деля на два, получаем

Если мы напишем

то

и

Во всем процессе содержится лишь одно извлечение квадратного корня при получении из