Точность вычисленных решений

65. Заметим, что для обращения матрицы мы получили много лучшие результаты, чем результаты, которые были получены для решения систем линейных уравнений. Это потому, что малая матрица-невязка обязательно означает, что X есть достаточно хорошая обратная матрица, тогда как малый вектор-невязка не обязательно означает, что

х есть хорошее решение. На практике, когда мы вычислили обратную матрицу по любому методу, мы можем вычислить и поэтому получить надежную оценку ошибки в

Естественно спросить, нет ли какого-нибудь аналогичного способа оценки точности вычисленного решения системы Если мы напишем

то ошибка в х равна следовательно, если мы имеем оценку для то можем получить оценку и для ошибки. Однако эта оценка может быть очень неутешительной даже тогда, когда наша оценка для очень точная. Предположим, например, что А есть такая нормированная матрица, что а такая нормированная правая часть, что Если х есть вектор, полученный округлением до десяти десятичных знаков, то

и эта оценка вполне реалистична. Следовательно, если нам дан такой х и точная оценка для то мы могли бы лишь показать, что норма ошибки в х ограничена величиной а это очень неутешительный результат. Для того чтобы суметь определить точность такого решения, нужна достаточно точная приближенная обратная матрица X и достаточно точная оценка для