Обусловленность С для некоторых стандартных расположений собственных значений

23. Сейчас мы оценим числа обусловленности С для нескольких стандартных расположений собственных значений матрицы порядка 20.

(i) Линейное расположение Имеем

и наибольшее значение, приблизительно равное достигается при или 11. Так как некоторые коэффициенты порядка , мы видим, что некоторые элементы превосходят .

(ii) Линейное расположение . Теперь мы имеем

Это на множитель меньше значения, полученного для расположения и соответствующие величины также меньше. Число обусловленности меньше по крайней мере в раз.

(iii) Геометрическое расположение Для имеем

Теперь почти равен 1, так что число обусловленности С порядка 2171.

(iv) Расположение на окружности Для этого расположения имеем

Кроме того, все по модулю равны единице. Поэтому матрица очень хорошо обусловлена, и мы можем ожидать, что коэффициенты характеристического уравнения определятся с максимальной возможной точностью. (Заметим, что комплексные, и если предполагается, что А диагональна, необходимо применение комплексной арифметики.) Если А не диагональная, но

то

Последовательность, соответствующая матрице А и начальному вектору совпадает с последовательностью, соответствующей и начальному вектору с точностью до множителя Поэтому, естественно, мы не можем ожидать, что матрица, соответствующая А, будет сколько-нибудь лучше обусловлена, чем матрица, соответствующая Следовательно, возвращаясь к значению использования в качестве начального вектора, можно ограничиться снова диагональными матрицами.

Очевидно, что если величины собственных значений сильно различаются, то последние векторы последовательности имеют очень малые последние компоненты. Следующий пример показывает, что эта трудность фундаментальная, и что любой поиск такого чтобы В была хорошо обусловлена, обречен на неудачу.

Для расположения (i) можно рассмотреть эффект от использования в качестве начального вектора

в котором компоненты, соответствующие малым собственным значениям, хорошо представлены. Тогда имеем

и

где хорошо представлены компоненты, соответствующие большим собственным значениям. Соответствующая уравновешенная матрица С имеет вид

Очевидно, что если диагональные матрицы вида

то совпадает с матрицей, которая бы соответствовала Следовательно, новая обратная выражается через старую обратную при помощи соотношения

и все равно очень плохо обусловлена.