Специальное использование процесса исчерпывания

49. Сейчас в первую очередь будем рассматривать -процесс как метод исчерпывания. Если точное собственное значение, то один шаг -процесса, примененного к приводит к матрице, последняя строка которой будет нулевой, и мы можем провести исчерпывание. Предположим теперь, что мы нашли значение верное с рабочей точностью. Можем ли мы выполнить один шаг QR и провести исчерпывание?

Ответом на этот вопрос будет резкое «нет». В самом деле, мы построили очень хорошо обусловленные матрицы, для которых элемент преобразованной матрицы без восстановления сдвига, все еще далекий от нуля, является даже наибольшим элементом всей матрицы! Примером такой матрицы является матрица Мы уже обсуждали приведение к треугольному виду в гл. 5, § 56 и видели, что последний элемент больше 21, когда 8 порядка

На первый взгляд это весьма тревожно и может посеять сомнения в численной устойчивости процесса. Однако такие сомнения не обоснованы. Вычисленная преобразованная матрица всегда точно подобна матрице, очень близкой к исходной и, следовательно, собственные значения сохраняются. Если мы продолжим итерации, используя тот же сдвиг, мы сможем в конечном счете произвести исчерпывание. На практике примеры матриц, для которых недостаточно двух итераций, весьма редки. Например, две итерации с матрицей дают матрицу, у которой элементы в позициях (21, 20) и (21, 21) равны нулю с рабочей точностью. Мы можем противопоставить это исчерпыванию, изученному в гл. 7, §53, где неудачное аннулирование величин, которые должны быть точно нулями, было роковым.