Прямое определение характеристического полинома
37. Мы описали определение формы Фробениуса через преобразование подобия для последовательности изложения и для того, чтобы продемонстрировать связь с методом Данилевского. Однако, так как мы обычно используем более высокую точность при приведении к форме Фробениуса, чем при приведении к форме Хессенберга, матрицы, возникающие при приведении, не могут быть записаны в тех же ячейках, которые занимала матрица Хессенберга.
Более естественно определение самого характеристического полинома 
Этот полином может быть получен из рекуррентных соотношений, которыми последовательно определяются характеристические полиномы каждой последовательной ведущей подматрицы 
матрицы 
Если обозначить 
характеристический полином подматрицы порядка 
то, разлагая 
по элементам 
столбца, получим
Для определения коэффициентов 
нужно запомнить коэффициенты 
Для вычисления 
необходимо приблизительно 
умножении, и следовательно, для полпого вычисления характеристического полинома 
необходимо 
умножений. Это столько же, как и при использовании преобразования подобия.
Если мы решим вычислить 
с двойной точностью, то и каждый из 
должен быть определен с двойной точностью. Однако, если предположить, что элементы 
даны только с обычной точностью, то необходимы лишь умножения величин, заданных с двойной точностью, на величины, заданные с обычной точностью.
Никаких специальных трудностей не возникает, если некоторые из 
малы или даже нули, хотя в последнем случае лучше иметь дело с соответствующими матрицами Хессенберга более низкого порядка. Снова процесс несколько упрощается, если 
равны единице.
В общем, приведение к форме Фробениуса (или вычисление характеристического полинома) значительно менее удовлетворительно, чем приведение к трехдиагональному виду. Для многих выглядящих весьма безобидно расположений собственных значений форма Фробениуса очень плохо обусловлена, и довольно часто бывает недостаточно даже двойной точности вычислений. Мы более полно опишем этот вопрос в главе 7.
