Косвенное определение характеристического полинома

18. Третий вопрос состоит в том, что из-за простоты явной полиномиальной формы соблазнительно определять коэффициенты полинома по вычисленным значениям Если или некоторое постоянное кратное его, определены при то коэффициенты характеристического полинома являются решениями системы уравнений

где это вычисленные значения. Аналогично, если требуются корни выражения (17.1), можно сделать вычислений определителя. Решению полиномиальных уравнений посвящено много усилий, и это является дальнейшим побуждением для приведения проблемы к этой форме.

Нашей главной целью здесь будет показать, что такие методы имеют присущие им жесткие ограничения. Для того чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим один метод определения характеристического полинома и оценим его точность для одного специфического расположения нулей. Этот метод основан на том, что мы можем получить явное решение уравнений (18.1). Действительно,

где

Выбор в нашем распоряжении. Если имеется некоторая оценка нормы матрицы, то естественно взять равноотстоящих точек между При таком выборе могут быть определены раз и навсегда для данного значения с точностью до простого множителя

Предположим теперь, что собственные значения матрицы равны а наша оценка нормы оказалась равной 10. Тогда соответствующие значения равны Для иллюстрации рассмотрим лишь определение коэффициента при причем сделаем предположение, что все величины вычислены с максимальной относительной ошибкой . В табл. 3 даны порядки величин множителей и величин

Таблица 3 (см. скан)

Так как мы опустили соответствующие хотя по симметрии очевидно, что Верное значение равно 210 и, следовательно, порядка 28, а мы видим, что отдельные слагаемые в сумме порядка 233. Поэтому при вычислении должно иметь место значительное взаимное уничтожение. Ошибка в возникающая только от ошибки в будет порядка Следовательно, даже при наших очень благоприятных предположениях, относительная ошибка в вряд ли может быть меньше 225, а мы видели в § 5, что это фатально для точности вычисленных собственных значений, если только не очень велико.

Полезным упражнением для читателя будет исследование ошибки в других коэффициентах и изучение эффекта изменения оценки нормы как для этого, так и для других расположений, обсуждавшихся в § 5. Вообще говоря, результаты, которые можно получить этим методом, совершенно неудовлетворительны. Исследовались различные модификации, включая, в частности, разложения по полиномам Чебышева, но результаты оказались неутешительными. Наш анализ показал, что даже если относительная ошибка в вычисленных величинах равна точные нули точного полинома, принимающего вычисленные значения, могут сильно отличаться от верных собственных значений.