Связь метода Хессенберга и предыдущих методов

30. Если векторы используются в естественном порядке, то мы имеем

и, если даются уравнением (28.2), мы можем написать

где единичная треугольная матрица. Если же мы возьмем в качестве начального вектора вектор то из § 11 мы видим, что матрицы

н совпадают с теми, которые получаются при прямом приведении к форме Хессенберга. Использование в качестве какого-либо другого вектора с единичной первой компонентой эквивалентно выполнению предварительного преобразования

Практическая процедура, описанная в § 29, в точности эквивалентна прямому приведению к форме Хессенберга с включением перестановок. Заметим, что в § 29 это не в § 12, который таков, что . В самом деле, легко так переделать описание § 29, чтобы выполнять на каждом этапе одинаковые перестановки строк и столбцов А и строк текущей матрицы из вместо того чтобы использовать в некотором переставленном порядке. Эти два метода не только математически эквивалентны, но если применять всюду, где возможно, накопление скалярных произведений, то даже ошибки округления совпадают.

Поэтому нам не надо проводить отдельный анализ ошибок для метода Хессенберга. Однако мы опишем ранее полученные результаты применительно к этому методу. Для удобства описания предположим, что А и векторы действительно переставляются на каждом этапе.

(i) Использование перестановок существенно в том смысле, что в противном случае мы могли бы получить бесконечно большие элементы вектора и это может привести к большей потере точности.

(ii) Если на какой-либо стадии вектор имеет малые элементы во всех позициях от до то от этого не происходит никакой потери точности, несмотря на то, что вычисляются как отношения малых величин. Мы просто имеем плохую определенность окончательной матрицы Я. Мы умышленно подчеркиваем это снова; уже говорилось, чтов этом случае надо начинать с другого начального вектора в надежде, что такая ситуация не будет повторяться.

(iii) Если вычисленный вектор 4 равен нулю, то мы можем взять Это соответствует тому факту, что если — то матрица из § 8 может быть выбрана единичной, хотя, конечно, можно использовать любые