Обусловленность матрицы собственных векторов

8. В главе 2 мы интересовались обусловленностью матрицы со столбцами, равными нормированным правосторонним собственным векторам заданной матрицы. Такая матрица не может иметь столбец из малых элементов, но возможно, что вся строка будет малой. Если это так, то собственные векторы, конечно, будут почти линейно зависимы, а соответствующая проблема собственных значений плохо обусловлена. Очевидно, будет «правильно» считать такую матрицу собственных векторов плохо обусловленной. Даже в этом случае есть много факторов за уравновешивание матрицы умножением строки с малыми элементами на степень 2 (или 10), прежде чем обратить ее для того, чтобы найти левостороннюю систему собственных векторов. После этого для получения верной обратной матрицы следует в вычисленной обратной умножить соответствующий «столбец на ту же степень 2 (или 10).

9. Мы видим теперь, что обусловленность системы линейных алгебраических уравнений в общепринятом смысле есть вещь достаточно субъективная. Но что важно на практике, так это обусловленность численной задачи, связанной с решением системы.

Некоторые методы, обсуждаемые в этой главе, более пригодны для уравновешенных матриц, потому что время от времени принимаются решения, зависящие от относительной величины элементов матрицы. Так как мы почти всегда уменьшаем число обусловленности матрицы уравновешиванием, то доводы в его пользу кажутся очень убедительными. Если мы используем арифметику с плавающей запятой, то нормировка, в отличие от уравновешивания, не играет какой-либо существенной роли. Поэтому предположение о нормировке упрощает исследование без особой потери общности.

Если матрица уравновешена и нормирована в строгом смысле, то даже если мы рассматриваем и симметричное уравновешивание, лежит между и будет обычно порядка n. Итак, за исключением очень больших матриц, (или даже максимальный по модулю элемент будет приемлемым числом обусловленности. Так как столбец есть решение системы то очевидно, что нормированная уравновешенная матрица плохо обусловлена тогда и только тогда, когда существует такой нормированный вектор для которого решение системы имеет большую норму.