Одновременное разложение и переумпожение в QR-алгорифме

67. Ортега и Кайзер (1963) установили, что аналогичный процесс может быть использован для перехода от при помощи QR-техники без использования квадратных корней. При этих преобразованиях требуется только симметрия, а не положительная определенность.

Опуская верхний индекс рассмотрим переход от к при помощи соотношений

без использования сдвига. Приведение А к достигается умножениями слева на вращение в плоскостях Если

а косинусы и синусы вращения обозначены через то

где

и

С другой стороны, из переумножения имеем

Определим величины

тогда из (67.6) и (67.5) найдем

а для и имеем

Окончательный алгорифм, следовательно, описывается уравнениями

Заметим, что мы вычисляем и так как мы не можем использовать для если мал. Каждая итерация требует выполнения делений и умножений, но ни одного извлечения квадратного корня. Величины записываются на места

Как и для общих симметричных ленточных матриц, оба алгорифма LR Холецкого и QR имеют свои преимущества, и выбор между ними затруднителен.