Связь процесса Хессенберга и процесса Ланцоша
48. Сейчас покажем, что если А — нижняя матрица Хессенберга, то существует тесная связь процесса Хессенберга и несимметричного процесса Ланцоша.
Сначала докажем, что если в процессе Ланцоша мы возьмем 
векторы с образуют столбцы верхней треугольной матрицы,
независимо от выбора 
Действительно, предположим, что это верно вплоть до 
Имеем
Но так как 
верхняя матрица Хессенберга, компоненты 
в позициях 
равны нулю по нашей индуктивной гипотезе 
. Следовательно, компоненты 
этих позициях также равны нулю, независимо от возможных значений 
и 
Это требуемый результат для 
Мы можем использовать этот результат для того, чтобы показать, что векторы 
являются столбцами нижней треугольной матрицы. Это следует из замечания в § 34 о том, что ортогонализация по отношению к столбцам любой верхней треугольной матрицы дает тот же результат, что и ортогонализация по отношению к столбцам 
Кроме того, там мы указали, что эта ортогонализация не использует элементы данной верхней треугольной матрицы.
Следовательно, векторы 
и величины 
в процессе Ланцоша можно получать без вычисления с. Так как они совпадают с величинами, которые получаются, если вместо 
взять 
мы установили совпадение векторов Ланцоша с векторами Хессенберга. Заметим, что в этом частном случае процесса Ланцоша не требуется переортогонализация, так как если X — верхняя треугольная, точная ортогональность достигается автоматически. Если, кроме того, 
то и процесс Хессенберга, и процесс Ланцоша дают те же самые результаты, что и метод § 43.
Теперь видим, что совсем не удивительно, что возникновение малого ведущего элемента в процессе § 43 ведет к тому же поведению в трехдиагональной матрице, которое наблюдалось в § 39 для процесса Ланцоша в случае, когда 
было мало. Это поведение является частным случаем общего явления, связанного с процессом Ланцоша.
