Специальная верхняя форма Хессенберга

56. Приведение к форме Фробениуса, описанное в § 51, значительно упрощается, если исходная матрица Хессенберга имеет . В этом случае не требуется производить деления, а матрица X уже в требуемой форме

Если форма Хессенберга матрицы общего вида А получается для того, чтобы затем получить форму Фробениуса, значительно удобнее сделать так, чтобы имела единичные поддиагональные элементы, за исключением тех, которые необходимо равны нулю. Это может быть обеспечено в процессе Хессенберга § 29, если в качестве брать единицу, кроме тех случаев, когда равен нулю и мы должны брать равным нулю.

Аналогично, если следовать § 11, нужно решать матричное уравнение

для однако теперь при предположении, что нижняя треугольная (первый столбец которой равен но уже не единичная нижняя треугольная и что имеет единичные поддиагональные элементы. Так же, как в § 11, элементы могут быть найдены столбец за столбцом. Каждый элемент теперь задан в виде скалярного произведения, а каждый элемент матрицы кроме имеет вид скалярного произведения, деленного на Мы имеем ту же экономию ошибок округления, и перестановки могут быть введены, как в § 12. Более того, присутствие единичных поддиагональных элементов значительно уменьшает число ошибок округления, которые делаются при дальнейшем приведении к форме Фробениуса.

Матрицы Хессенберга в настоящей формулировке могут быть получены из матриц §§ 11, 12 при помощи диагонального преобразования подобия. В то время как в предыдущих случаях элементы были линейными по элементам А, поскольку элементы однородные функции нулевого порядка от в настоящей формулировке степени Это. очевидно, неудобно для вычислительной машины с фиксированной запятой. Предполагая, что мы используем плавающую запятую, найдем, что если А уравновешена, а сильно отличается от единицы, то обычно будет совсем неуравновешенной. В то время как в формулировках §§ 11, 12 мы рассматривали поддиагональные элементы как нули, если, например, они были меньше и разбивали на две меньшие матрицы Хессенберга, мы не имеем подобного специфического критерия в настоящей формулировке.