Приведение к треугольной канонической форме элементарными преобразованиями подобия

42. Мы можем проиллюстрировать использование элементарных преобразований подобия, показав, что любая матрица может быть приведена к треугольному виду преобразованием подобия, матрица которого является произведением элементарйых матриц. Доказательство проведем по индукции.

Предполржим, что это верно для матриц порядка Пусть А — матрица порядка и пусть X — ее собственное значение. Тогда существует по крайней мере один собственный вектор х, соответствующий X, такой, что

Теперь для любой неособенной X собственный вектор равен Мы покажем, как выбрать X так, чтобы был равен Пусть

где элемент — это первый ненулевой элемент х, и произвольный множитель выбран так, что он равен единице. Имеем

где это в некотором порядке. Заметим, что случай включен, ибо Теперь если мы умножим у слева на матрицу которой то все элементы аннулируются, кроме первого. Следовательно,

и матрица имеет собственное значение X с соответствующим собственным вектором Поэтому она должна иметь вид

где В — квадратная матрица порядка Теперь, по предполояению, существует квадратная матрица которая является произведением элементарных матриц, такая, что

где треугольная. Следовательно,

так что матрица в правой части треугольная. Результат поэтому верен в общем, так как он, очевидно, справедлив при