Ограничения, накладываемые t-разрядной арифметикой
13. Если 
системы
требуют для своего представления более чем 
разрядов, то мы должны довольствоваться 
-разрядной аппроксимацией А и Имеем
где для вычислений с фиксированной запятой
так что
Очевидно, что верхние оценки могут быть достигнуты. Если только 
то, согласно (3.7), матрица 
не может быть вырожденной. Если это условие выполнено, то простые вычисления показывают, что точное решение х системы 
удовлетворяет соотношению
Очевидно, что если 
незначительно меньше единицы, то начальные ошибки могут полностью исказить точное решение. Для вычислений с плавающей запятой аналогично имеем
14. Обратимся теперь к ошибкам округления, сделанным во время вычислений. Рассмотрим результат умножения системы уравнений на константу с, лежащую между 1/2 и 1 и требующую 
разрядов для своего представления в арифметике с фиксированной запятой. Если мы округлим полученные числа, то преобразованная система уравнений такова:
Эта система в точности эквивалентна системе
так что ошибки округления эквивалентны возмущениям 
соответственно в 
причем их оценки в 
раз больше оценок
первоначальных ошибок. Типичный шаг большинства прямых методов состоит в умножении одного из уравнений на число и прибавлении к другому уравнению. Так как даже для матриц умеренного порядка выполняется много таких шагов, мы могли бы ожидать, что вся совокупность ошибок округления ухудшит точность решения значительно более серьезно, чем единственная операция (14.1). Как это ни удивительно, один из самых простых методов решения обычно приводит к ошибке, предполагаемое значение которой точно такое, какое получается при случайных возмущениях 
удовлетворяющих соотношениям (13.3). Это означает, что если исходные числа не являются точными числами из 
двоичных разрядов, то ошибки, получающиеся от любого начального округления, могут быть настолько же серьезны, как и ошибки, возникающие при решении на всех шагах. Более неожиданным является тот факт, что для некоторых очень плохо обусловленных матриц начальное округление имеет даже значительно более серьезное значение (см. §§ 40 и 45).
