Замечания о программах на АСЕ

69. На основе приемов, описанных в предыдущих параграфах, были разработаны несколько программ на Они были разной степени сложности. Наиболее сложные из них давали более точное разделение патологически близких собственных значений, как описано в § 68.

Для большинства матриц, даже для таких, у которых разделение собственных значений нормально могло бы рассматриваться как очень плохое, границы ошибок были значительно меньше, чем обычно требуется. Например, для матрицы 15-го порядка, имеющей элементы порядка единицы, с собственными значениями, разделенными величинами все собственные значения и собственные векторы гарантируются с точностью до 17 десятичных знаков, причем с значительно лучшей гарантией для большинства из них. Заметим, что основным ограничением для всех программ было требование, чтобы была возможность вычислять с рабочей точностью. Когда число обусловленности X по отношению к обращению достигает это становится все более трудным, и когда это значение достигается, процесс нарушается и становится существенной более высокая точность вычислений. Такая неприятность на встречалась только для матриц, для которых проблема собственных значений очень плохо обусловлена.

Программу можно было использовать итерационно, так что после вычисления исправленной системы собственных значений все величины округлялись до одинарной точности и процесс применялся снова. При использовании такого способа сложные вычисления, необходимые для получения границ ошибок, опускались на всех шагах, кроме последнего, и процесс можно начинать со сравнительно плохих приближений. Эта итерационная техника имеет много общего с методами Магнье (1948), Яна (1948) и Коллара (1948).

В этих методах матрица определенная из равенства

вычисляется без каких-либо специальных предосторожностей. Исправленные собственные значения А берутся равными собственный вектор В (гл. 2, § 6) равным

Исправленные собственные векторы А вычисляются обычным способом.

Независимо методы предыдущих параграфов были разработаны (Уилкинсон, 1961а) главным образом с целью определения строгих границ для вычисляемых величин. Надо подчеркнуть, что когда приближенная система собственных значений и собственных векторов определена одним

из более точных методов, которые мы обсуждали, ошибки обычно того же порядка, что и при прямом применении уравнений (69.1) и (69.2). При получении исправленной системы собственных значений и собственных векторов существенно более внимательное отношение к деталям, воплощенным в программах на