Простой пример итерационного процесса

70. В табл. 6 мы даем пример применения этого метода к матрице третьего порядка, где вычисления выполнялись с использованием шестизначной арифметики с фиксированной запятой и накоплением скалярных произведений. Матрица имеет число обусловленности между 104 и 105.

Таблица 6 (см. скан) Итерационное решение системы уравнений с тремя различными правыми частями

Продолжение табл. 6 (см. скан)

Уравнения были решены с тремя различными правыми частями, которые иллюстрируют ряд особенно интересных свойств.

Первая правая часть была выбрана так, чтобы, несмотря на плохую обусловленность А, точное решение было порядка единицы. Так как матрица не очень уж плохо обусловлена, первое приближение также порядка единицы. Соответственно первая невязка имеет компоненты порядка несмотря на то, что приближенное решение имеет ошибки во втором десятичном знаке. Неточность первого приближения сразу же обнаруживается, когда вычисляется второе. Изменения в первой компоненте решения при последовательных итерациях равны — , другие компоненты ведут себя аналогично. Большое относительное изменение, сделанное при первом исправлении, убедительно показывает, что матрица А плохо обусловлена и что число обусловленности, вероятно, порядка .

В этом примере это очевидно, потому что последний элемент равен 0,000030, и это показывает, что элемент в обратной матрице будет порядка 30 000. Невозможно построить матрицу третьего порядка, которая бы не обнаруживала свою плохую обусловленность таким образом, но для матриц более высокого порядка плохая обусловленность совсем неочевидна. Однако поведение итераций и в этих случаях дает надежные признаки обусловленности. Заметим, что все невязки имеют почти одну и ту же величину и в действительности последняя невязка, соответствующая правильно округленному решению, является одной из самых больших.

Вторая правая часть отличается от первой лишь в последних знаках, начиная с седьмого, и поэтому первое приближение совпадает с первым приближением, соответствующим предыдущей правой части. Однако мы можем использовать все знаки при вычислении невязки и, следовательно, после первой итерации ожидать появления дополнительных знаков. Хотя разность между двумя правыми частями порядка два решения могут отличаться на вектор порядка так как порядка . Это действительно оказывается так, и поэтому использование" полной правой части имеет большое значение.

Третья правая часть дает решение, имеющее компоненты порядка 104. Появление такого решения сразу же говорит о плохой обусловленности матрицы. Так как приближения получаются как блочно-плавающие векторы, мы имеем лишь один знак после запятой, и даже правильно округленные последние приближения могут содержать ошибки до Теперь на всех этапах невязки порядка 0,01, несмотря на то, что компоненты первого приближения имеют ошибки больше 100. Случайные ошибки такой величины могли бы дать невязки порядка 100.