Родственные итерационные процессы

72. Процесс, который мы только что описали, будет работать и с другими, менее точными видами арифметики, если при вычислении невязки накапливаются скалярные произведения. Если это невыгодно, то невязки должны вычисляться в арифметике с двойной точностью. Накопление скалярных произведений несущественно на любом другом этапе процесса. В общем случае, если норма эквивалентного возмущения в соответствующего ошибкам, сделанным при решении, ограничена величиной то процесс будет работать при условии, что меньше, чем 1/2. На практике из-за статистического распределения ошибок процесс обычно будет работать при условии, что меньше единицы. (Предполагаем здесь, что рост ведущих элементов незначителен.)

Аналогично, если мы используем триангуляризацию Гивенса или Хаусхолдера и сохраняем ортогональные преобразования, то можем выполнить такой же итерационный процесс. Опять единственным этапом, на котором важно накапливать скалярные произведения, является вычисление невязок. Для ортогональных методов триангуляризации мы можем опустить условие относительно роста ведущих элементов, так как теперь это исключается. Однако я не думаю, что это оправдывает использование ортогональных преобразований.

Если при вычислении невязок не накапливаются скалярные произведения, что, вообще говоря, итерационный процесс не будет сходиться. Действительно, тогда ошибки, сделанные при вычислении невязок, будут того же порядка, что и сами невязки (за исключением, возможно, первого этапа, когда точные невязки могут быть несколько больше для матриц большого порядка из-за множителя . В общем случае последовательные итерации не будут иметь тенденции к сходимости; вся последовательность векторов будет получаться с ошибками, сравнимыми с ошибками первого приближения.