Анализ ошибок

59. Эти простые результаты позволяют нам весьма просто увидеть, почему именно метод (iii) не имеет успеха на практике. Когда мы выполняем обратные итерации с произвольной матрицей, имеющей два собственных значения, очень близких к нулю, компоненты по всем векторам, за исключением компонент по векторам, соответствующим этим собственным значениям, быстро уменьшаются. Поэтому итерированные векторы лежат в подпространстве, порожденном этими собственными векторами. Конкретный вектор, получающийся в этом подпространстве, сильно зависит от ошибок округления и даже может меняться от итерации к итерации.

Метод (i) не обладает никакими интересными особенностями. Матрица имеет лишь одно малое собственное значение, и мы имеем быструю сходимость к Применяется комплексная арифметика; необходимо приблизительно комплексных умножении при разложении матрицы в произведение треугольных и затем комплексных умножений при каждой итерации.

В методе (ii) вектор получаемый на каждом этапе, необходимо вещественный. Он сходится к вектору из подпространства, порожденного и следовательно, должен иметь вид

Это дает для комплексного собственного вектора

что вполне удовлетворительно.

В методе (iii) векторы очевидно, будут вещественными и будут сходиться к вектору из подпространства, натянутого на Следовательно, когда компоненты по остальным векторам уже исчезнут (что произойдет почти сразу, если К близко к то

но мы не можем ожидать, что как-либо связаны. Комплексный собственный вектор, определяемый этим методом, имеет

и он не равен кратному Хотя суть вещественные векторы, порождающие то же подпространство, что и вектор не кратен и для получения последнего требуются дополнительные вычисления.

В методе (iv) мы сразу после будем получать вещественный вектор связанный с соотношением (57.2). В предельном случае,

когда X равно с рабочей точностью, мы найдем, что решение уравнения (57,5) больше, чем по которым оно определяется, на множитель порядка где матрица ошибок, возникших при разложении в произведение треугольных. Следовательно, можно пренебречь в уравнении (57.2), и вычисленный в основном удовлетворяет соотношению

Тогда (58.3) дает

и это показывает, что действительно кратен х.

Тот факт, что (iii) дает неправильно связанные особенно очевиден в случае матрицы второго порядка. В самом деле, легко видеть, что если даже точный собственный вектор, будет совершенно неудовлетворительным. Это следует из того, что при Следовательно, если мы вычислим для значения Я, верного с рабочей точностью, то будет состоять лишь из ошибок округления. Поэтому ее можно записать в виде где произвольная матрица того же порядка величины, что и Если собственный вектор, то в правой части (57.5) и соответственно. Тогда с точностью до постоянного множителя имеем

и так как произвольна, мы не можем ожидать, что и будут правильно связаны.

Мы обсудили предельный случай, когда X верно с рабочей точностью. Если то даже в наиболее благоприятных обстоятельствах метод (iii) будет давать собственный вектор в врще где порядка При к, равных компонента по становится того же порядка, что и по