Методы, в которых используются производные
43. Вообще говоря, методы, использующие одну или более производных, ведут себя совсем иначе, чем интерполяционные методы. Для изучения предельного поведения около простого собственного значения 
сделаем сначала естественное предположение, что в окрестности нуля относительная ошибка вычисленного значения производной меньше относительной ошибки вычисленного значения функции.
Для иллюстрации можно рассматривать метод Ньютона (§ 25), так как влияние ошибок округления на предельное поведение здесь в основном такое же, как и для всех таких методов. Если обозначить вычисленные значения 
через и 
соответственно, то поправка, полученная на типичном шаге, равна 
вместо 
Можно написать
и, по предположению, в окрестности 
имеем
Отношение между вычисленной поправкой и верной поправкой, следовательно, в основном определяется отношением 
и в обозначениях § 38 имеем
До тех пор, пока 
значительно больше 
до тех пор, пока 
достаточно далеко от области неопределенности, вычисленная поправка имеет малую относительную ошибку, но когда эти величины становятся одного порядка, это уже неверно. Если на этой стадии 
есть 
где 
мало, то правильная поправка даст 
вида 
причем мы предполагаем, что точность вычислений такова, что область неопределенности мала по сравнению с расстоянием от 
до соседних собственных значений. Следовательно, вычисленная поправка будет 
так что вычисленное 
приблизительно равно 
Снова находим, что вычисленные итерации улучшаются до тех пор, пока не достигнута область неопределенности.
После этого поведение методов, использующих производные, отличается от поведения интерполяционных методов. Для точек 
внутри области неопределенности вычисленные значения 
все равно будут иметь сравнительно малую относительную ошибку. Следовательно, отношение вычисленной поправки к верной поправке будет почти точно равно правой части (43.3), и так как верная поправка дает 
почти точно, вычисленная поправка дает 
почти точно. Следовательно, итерации будут колебаться более или менее случайно внутри области неопределенности.
44. Наше доказательство основано на предположении, что относительная ошибка вычисленных значений производной значительно меньше относительной ошибки вычисленных значений функции. Для кратных или очень близких собственных значений это будет, вообще говоря, верно для значении 2 вне области неопределенности, но для значений внутри области неопределенности для таких собственных значений это уже не будет справедливо. Более того вычисленное значение 
может даже быть нулем, а 
отличным от нуля.
Однако замечания, сделанные в § 40, в полной мере приложимы к итерационным методам, в которых используются производные. Даже если матрица имеет кратный корень или очень близкие корни, но соответствующая область неопределенности мала, предельная точность будет велика; меняется только скорость сходимости. Более того, если мы случайно знаем кратность корня, то использование формул (25.9) или (28.12) даст высокую скорость сходимости.
